Οι 13 τύποι μαθηματικών λειτουργιών (και τα χαρακτηριστικά τους)
Τα Μαθηματικά είναι ένας από τους πιο τεχνικούς και αντικειμενικούς επιστημονικούς κλάδους που υπάρχουν. Είναι το κύριο πλαίσιο από το οποίο άλλοι κλάδοι της επιστήμης είναι σε θέση να πραγματοποιούν μετρήσεις και να λειτουργούν με τις μεταβλητές των στοιχείων που μελετούν, με τέτοιο τρόπο ώστε εκτός από μια πειθαρχία από μόνη της να υποθέτει δίπλα στη λογική μία από τις βάσεις της επιστημονική γνώση
Αλλά μέσα στα μαθηματικά μελετώνται πολύ διαφορετικές διεργασίες και ιδιότητες μελετώντας μεταξύ τους τη σχέση μεταξύ δύο μεγεθών ή συνδεδεμένων τομέων, όπου προκύπτει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα χάρη ή σε συνάρτηση με την αξία ενός στοιχείου σκυροδέματος. Πρόκειται για την ύπαρξη μαθηματικών λειτουργιών, οι οποίες δεν θα έχουν πάντα τον ίδιο τρόπο επηρεασμού ή σχέσης μεταξύ τους.
Αυτός είναι ο λόγος μπορούμε να μιλήσουμε για διαφορετικούς τύπους μαθηματικών λειτουργιών , των οποίων θα μιλήσουμε σε όλο αυτό το άρθρο.
- Σχετικό άρθρο: "14 μαθηματικά αινίγματα (και οι λύσεις τους)"
Λειτουργίες στα μαθηματικά: τι είναι;
Πριν προχωρήσουμε για να καθορίσουμε τους κύριους τύπους μαθηματικών λειτουργιών που υπάρχουν, είναι χρήσιμο να κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή για να καταστήσουμε σαφές τι μιλάμε όταν μιλάμε για λειτουργίες.
Οι μαθηματικές λειτουργίες ορίζονται ως η μαθηματική έκφραση της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών ή μεγεθών . Οι εν λόγω μεταβλητές συμβολίζονται από τα τελευταία γράμματα του αλφαβήτου, X και Y, και αντίστοιχα λαμβάνουν το όνομα του τομέα και του κωδικού.
Αυτή η σχέση εκφράζεται με τέτοιο τρόπο ώστε να επιδιώκεται η ύπαρξη ισότητας μεταξύ των δύο συστατικών που αναλύονται και γενικά υποδηλώνει ότι για κάθε μια από τις τιμές του Χ υπάρχει ένα μόνο αποτέλεσμα του Υ και αντίστροφα (αν και υπάρχουν ταξινομήσεις λειτουργιών που δεν συμμορφώνονται με αυτή την απαίτηση).
Επίσης, αυτή η λειτουργία επιτρέπει τη δημιουργία αναπαράστασης με τη μορφή γραφικών η οποία με τη σειρά της επιτρέπει την πρόβλεψη της συμπεριφοράς μίας από τις μεταβλητές από την άλλη, καθώς και πιθανά όρια αυτής της σχέσης ή μεταβολές στη συμπεριφορά της εν λόγω μεταβλητής.
Όπως συμβαίνει όταν λέμε ότι κάτι εξαρτάται ή βασίζεται σε κάτι άλλο (για να δώσουμε ένα παράδειγμα, εάν θεωρήσουμε ότι ο βαθμός μας στη δοκιμασία μαθηματικών είναι συνάρτηση του αριθμού των ωρών που μελετάμε), όταν μιλάμε για μια μαθηματική λειτουργία υποδεικνύουμε ότι η απόκτηση μιας συγκεκριμένης τιμής εξαρτάται από την αξία άλλου συνδεδεμένου με αυτήν.
Στην πραγματικότητα, το προηγούμενο παράδειγμα είναι άμεσα εκφρασμένο με τη μορφή μιας μαθηματικής συνάρτησης (αν και στον πραγματικό κόσμο η σχέση είναι πολύ πιο περίπλοκη, αφού στην πραγματικότητα εξαρτάται από πολλούς παράγοντες και όχι μόνο από τον αριθμό των ωρών που μελετώνται).
Κύριοι τύποι μαθηματικών λειτουργιών
Εδώ παρουσιάζουμε μερικούς από τους κύριους τύπους μαθηματικών λειτουργιών που ταξινομούνται σε διαφορετικές ομάδες ανάλογα με τη συμπεριφορά τους και τον τύπο σχέσης που δημιουργείται μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ .
1. Αλγεβρικές λειτουργίες
Οι αλγεβρικές λειτουργίες εννοούνται ως το σύνολο των τύπων μαθηματικών λειτουργιών που χαρακτηρίζονται από την καθιέρωση μιας σχέσης των οποίων τα συστατικά είναι είτε μονομοριακά είτε πολυωνυμικά, και η σχέση του οποίου επιτυγχάνεται με την εκτέλεση σχετικά απλών μαθηματικών λειτουργιών : αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, ενίσχυση ή εγκατάσταση (προσθήκη ριζών). Μέσα σε αυτή την κατηγορία μπορούμε να βρούμε πολλούς τύπους.
1.1. Επεξηγηματικές λειτουργίες
Ως ρητές λειτουργίες νοούνται οι τύποι μαθηματικών λειτουργιών των οποίων η σχέση μπορεί να αποκτηθεί άμεσα, απλώς υποκαθιστώντας την περιοχή x για την αντίστοιχη τιμή. Με άλλα λόγια, είναι η λειτουργία στην οποία άμεσα βρίσκουμε μια εξίσωση μεταξύ της αξίας και μιας μαθηματικής σχέσης στην οποία επηρεάζει το πεδίο x .
1.2. Τυπικές λειτουργίες
Σε αντίθεση με τις προηγούμενες, στις σιωπηρές λειτουργίες η σχέση μεταξύ τομέα και κωδικοματίου δεν καθορίζεται άμεσα, είναι απαραίτητη για την εκτέλεση διαφόρων μετασχηματισμών και μαθηματικών πράξεων προκειμένου να βρεθεί ο τρόπος με τον οποίο τα x και y σχετίζονται.
1.3. Πολυωνυμικές λειτουργίες
Οι λειτουργίες πολυώνυμων, μερικές φορές κατανοημένες ως συνώνυμες με αλγεβρικές λειτουργίες και άλλες ως υποκατηγορία αυτών, ενσωματώνουν το σύνολο τύπων μαθηματικών λειτουργιών στις οποίες Για να αποκτήσετε τη σχέση μεταξύ τομέα και κωδικοεπιπέδου, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε διάφορες λειτουργίες με πολυώνυμα διαφορετικού βαθμού.
Οι γραμμικές ή πρώτης βαθμίδας λειτουργίες είναι ίσως ο απλούστερος τύπος λειτουργίας για την επίλυση και είναι από τους πρώτους που θα μάθουν. Σε αυτά υπάρχει απλά μια απλή σχέση στην οποία μια τιμή του x θα παράγει μια τιμή y, και η γραφική παράσταση της είναι μια γραμμή που πρέπει να κόψει τον άξονα των συντεταγμένων σε κάποιο σημείο. Η μόνη παραλλαγή θα είναι η κλίση της εν λόγω γραμμής και το σημείο όπου κόβει τον άξονα, διατηρώντας πάντοτε τον ίδιο τύπο σχέσης.
Μέσα σε αυτά μπορούμε να βρούμε τις λειτουργίες ταυτότητας, στην οποία υπάρχει άμεση ταυτοποίηση μεταξύ τομέα και codomain (y = x), οι γραμμικές συναρτήσεις (στις οποίες παρατηρούμε μόνο μια παραλλαγή της κλίσης, y = mx) και τις συναφείς λειτουργίες (στις οποίες μπορούμε να βρούμε μεταβολές στο σημείο αποκοπής του τετμημένη και κλίση, y = mx + a).
Οι λειτουργίες τετραγωνικής ή δεύτερης βαθμίδας είναι εκείνες που εισάγουν ένα πολυώνυμο στο οποίο μια μόνο μεταβλητή έχει μια μη γραμμική συμπεριφορά με την πάροδο του χρόνου (μάλλον, σε σχέση με την κωδικο-ομάδα). Από ένα συγκεκριμένο όριο η λειτουργία τείνει στο άπειρο σε έναν από τους άξονες. Η γραφική αναπαράσταση εδραιώνεται ως παραβολή και εκφράζεται μαθηματικά ως y = ax2 + bx + c.
Οι σταθερές λειτουργίες είναι εκείνες στις οποίες ένας μόνος πραγματικός αριθμός είναι ο καθοριστικός παράγοντας της σχέσης μεταξύ τομέα και codomain . Δηλαδή, δεν υπάρχει πραγματική παραλλαγή ανάλογα με την αξία και των δύο: η κωδικομετρία θα είναι πάντα σταθερή, δεν υπάρχει μεταβλητή τομέα που μπορεί να εισάγει αλλαγές. Απλά, y = k.
- Ίσως σας ενδιαφέρει: "Dyscalculia: η δυσκολία όταν πρόκειται για την εκμάθηση των μαθηματικών"
1.4. Ορθολογικές λειτουργίες
Ορθολογικές λειτουργίες είναι το σύνολο λειτουργιών στις οποίες η τιμή της συνάρτησης καθορίζεται από ένα πηλίκο μεταξύ μη μηδενικών πολυωνύμων. Σε αυτές τις λειτουργίες ο τομέας θα περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς εκτός από εκείνους που ακυρώνουν τον παρονομαστή του τμήματος, ο οποίος δεν θα επέτρεπε να αποκτήσετε μια τιμή y.
Σε αυτό το είδος λειτουργιών εμφανίζονται γνωστά όρια όπως οι ασυμπτωτικοί , πράγμα που θα ήταν ακριβώς εκείνες οι τιμές στις οποίες δεν θα υπήρχε καμιά περιοχή ή κωδικομετρική τιμή (δηλαδή, όταν τα y και x είναι ίσα με 0). Στα όρια αυτά, οι γραφικές παραστάσεις τείνουν να είναι άπειρες, χωρίς να αγγίζουν ποτέ τα όρια. Ένα παράδειγμα αυτού του τύπου συνάρτησης: y = √ ax
1.5. Παράλογες ή ριζοσπαστικές λειτουργίες
Παίρνουν το όνομα των παράλογων λειτουργιών το σύνολο των λειτουργιών στις οποίες μια λογική λειτουργία εισάγεται σε μια ρίζα ή μια ρίζα (η οποία δεν χρειάζεται να είναι τετράγωνη, αφού είναι πιθανό ότι είναι κυβική ή με άλλο εκθέτη).
Για να μπορέσει να το λύσει πρέπει να έχουμε κατά νου ότι η ύπαρξη αυτής της ρίζας επιβάλλει ορισμένους περιορισμούς , όπως το γεγονός ότι οι τιμές του x θα πρέπει πάντα να προκαλούν το αποτέλεσμα της ρίζας να είναι θετικό και μεγαλύτερο από ή ίσο με το μηδέν.
1.6. Λειτουργίες που ορίζονται από κομμάτια
Αυτός ο τύπος λειτουργιών είναι εκείνοι στους οποίους η τιμή του y αλλάζει τη συμπεριφορά της συνάρτησης, υπάρχουν δύο διαστήματα με πολύ διαφορετική συμπεριφορά που βασίζεται στην αξία του τομέα. Θα υπάρχει μια τιμή που δεν θα είναι μέρος αυτού, η οποία θα είναι η τιμή από την οποία η συμπεριφορά της λειτουργίας θα διαφέρει.
2. Υπερβατικές λειτουργίες
Οι υπερβατικές λειτουργίες είναι εκείνες οι μαθηματικές αναπαραστάσεις σχέσεων μεταξύ μεγεθών που δεν μπορούν να ληφθούν μέσω αλγεβρικών λειτουργιών και για τις οποίες είναι απαραίτητο να εκτελέσετε μια πολύπλοκη διαδικασία υπολογισμού για να αποκτήσετε τη σχέση τους . Περιλαμβάνει κυρίως εκείνες τις λειτουργίες που απαιτούν τη χρήση παραγώγων, ολοκληρωμάτων, λογαρίθμων ή που έχουν έναν τύπο ανάπτυξης που αυξάνεται ή μειώνεται συνεχώς.
2.1. Εκθετικές λειτουργίες
Όπως υποδεικνύεται από το όνομά του, οι εκθετικές λειτουργίες είναι το σύνολο των λειτουργιών που δημιουργούν μια σχέση μεταξύ του τομέα και της κωδικομασίνης στην οποία δημιουργείται μια σχέση ανάπτυξης σε εκθετικό επίπεδο, δηλαδή υπάρχει μια αυξανόμενη επιτάχυνση. η τιμή του x είναι ο εκθέτης, δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο η αξία της λειτουργίας ποικίλλει και αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου . Το πιο απλό παράδειγμα: y = ax
2.2. Λειτουργίες καταγραφής
Ο λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού είναι εκείνος ο εκθέτης ο οποίος θα είναι απαραίτητος για την ανύψωση της βάσης που χρησιμοποιείται για να αποκτήσει τον συγκεκριμένο αριθμό. Έτσι, οι λογαριθμικές λειτουργίες είναι εκείνες στις οποίες χρησιμοποιούμε ως τομέα τον αριθμό που θα ληφθεί με συγκεκριμένη βάση. Αυτή είναι η αντίθετη και αντίστροφη περίπτωση της εκθετικής λειτουργίας .
Η τιμή του x πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερη από μηδέν και διαφορετική από 1 (δεδομένου ότι οποιοσδήποτε λογάριθμος με τη βάση 1 είναι ίσος με μηδέν). Η αύξηση της συνάρτησης μειώνεται καθώς αυξάνεται η τιμή του χ. Στην περίπτωση αυτή y = λογάριθμος x
2.3. Τριγωνομετρικές λειτουργίες
Ένας τύπος συνάρτησης που καθορίζει την αριθμητική σχέση μεταξύ των διαφόρων στοιχείων που συνθέτουν ένα τρίγωνο ή γεωμετρικό σχήμα και συγκεκριμένα τις σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των γωνιών ενός σχήματος. Μέσα σε αυτές τις λειτουργίες βρίσκουμε τον υπολογισμό του ημιτονοειδούς, του συνημιτονικού, της εφαπτόμενης, της κοχλιωτής, της συνθετικής και της κολαστικής πριν από μια καθορισμένη τιμή x.
Μια άλλη ταξινόμηση
Το σύνολο των τύπων μαθηματικών λειτουργιών που εξηγούνται παραπάνω λαμβάνει υπόψη ότι για κάθε τιμή του τομέα αντιστοιχεί μία μόνο τιμή της κωδικομεταφοράς (δηλαδή κάθε τιμή του x θα προκαλέσει μια συγκεκριμένη τιμή του y). Ωστόσο, αν και αυτό το γεγονός θεωρείται συνήθως βασικό και θεμελιώδες, είναι βέβαιο ότι είναι δυνατόν να βρεθούν μερικά τύποι μαθηματικών λειτουργιών στις οποίες μπορεί να υπάρχει κάποια απόκλιση όσον αφορά τις αντιστοιχίες μεταξύ χ και γ . Συγκεκριμένα μπορούμε να βρούμε τους ακόλουθους τύπους λειτουργιών.
1. Εγχυτικές λειτουργίες
Το όνομα των λειτουργιών ένεσης είναι αυτός ο τύπος της μαθηματικής σχέσης μεταξύ τομέα και κωδικοματίου, στον οποίο κάθε μία από τις τιμές της κωδικομανίας συνδέεται μόνο με μια τιμή του τομέα. Δηλαδή, το x μπορεί να έχει μόνο μία τιμή για μια συγκεκριμένη τιμή ή μπορεί να μην έχει αξία (δηλαδή, μια συγκεκριμένη τιμή του x μπορεί να μην σχετίζεται με το y).
2. Επικεφαλής λειτουργίες
Οι επιφανειακές λειτουργίες είναι όλες εκείνες στις οποίες κάθε ένα από τα στοιχεία ή τιμές της κωδικο-ομάδας (γ) σχετίζεται με τουλάχιστον ένα από τα πεδία (χ) , αν και μπορούν να είναι περισσότερα. Δεν χρειάζεται να είναι απαραίτητα εγχυτική (για να είναι σε θέση να συσχετίσει πολλές τιμές του x με το ίδιο y).
3. Λειτουργίες bijective
Ο τύπος της λειτουργίας στην οποία δίδονται τόσο οι εγχυτικές όσο και οι επικριτικές ιδιότητες ονομάζεται έτσι. Θέλω να πω, υπάρχει μια μόνο τιμή του x για καθένα και , και όλες οι τιμές τομέων αντιστοιχούν σε μία από τις κωδικο-ομάδες.
4. Λειτουργίες μη ενέχουσες και μη επιφανειακές
Αυτοί οι τύποι λειτουργιών υποδεικνύουν ότι υπάρχουν πολλαπλές τιμές του τομέα για μια συγκεκριμένη κωδικομεταγωγή (δηλαδή διαφορετικές τιμές του x πρόκειται να μας δώσουν το ίδιο y) ταυτόχρονα άλλες τιμές του y δεν συνδέονται με οποιαδήποτε τιμή του x.
Βιβλιογραφικές αναφορές:
- Eves, Η. (1990). Θεμελιώσεις και θεμελιώδεις έννοιες των μαθηματικών (3 έκδοση). Ντόβερ
- Hazewinkel, M. ed. (2000). Εγκυκλοπαίδεια των Μαθηματικών. Kluwer Academic Publishers.
